Question

9．定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁，若函数y=|log₂$\frac{x}{2}$|的定义域为[m，n]，值域为[0，2]，则区间[m，n]长度的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 据题意即可得到函数$y=lo{g}_{2}\frac{x}{2}$的值域为[-2，0]时区间[m，n]的长度最小，这样便可得出此时的m，n的值，即得出n-m的最小值．

解答 解：根据题意知，函数$y=lo{g}_{2}\frac{x}{2}$在[m，n]上的值域为[-2，0]时，n-m最小；
x=2时，y=0，x=$\frac{1}{2}$时，y=-2；
∴$m=\frac{1}{2}，n=2$；
即n-m的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 考查区间长度的概念，对数函数的单调性，绝对值函数的处理方法，函数定义域和值域的定义．