Question

15．已知函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，若函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数f′（x）=0的解，根据f（x）的两极值点的大小关系及二次函数的性质得出f（x）的单调性；
（2）根据（1）的结论对f（x）在[0，1]上的单调性进行讨论，求出f_min（x），令f_min（x）＞e解出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+ax-2a-3）+e^x（2x+a）=e^x[x²+（a-2）x-a-3]=e^x（x-1）（x+a+3）．
令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-a-3，
①当-a-3=1即a=-4时，f′（x）=e^x（x-1）²≥0，
∴f（x）在R上单调递增；
②当-a-3＜1即a＞-4时，f′（x）＞0的解为x＜-a-3或a＞1，
f′（x）＜0的解为-a-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-a-3）上单调递增，在（-a-3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
③当-a-3＞1即a＜-4，f′（x）＞0的解为x＜1或a＞-a-3，
f′（x）＜0的解为1＜x＜-a-3，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，-a-3）上单调递减，在（-a-3，+∞）上单调递增；
综上，当a=-4时，f（x）在R上单调递增；
当a＞-4时，f（x）在（-∞，-a-3）上单调递增，在（-a-3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a＜-4时，f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，-a-3）上单调递减，在（-a-3，+∞）上单调递增．
（2）①当a≤-4时，由（I）可知f（x）在[0，1]上单调递增，∴f_min（x）=f（0）=-2a-3，
∵函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，
∴-2a-3＞e，解得：a＜-3+e2，
∴a≤-4．
②当0＜-a-3＜1即-4＜a＜-3时，f（x）在（0，-a-3）上单调递增，在（-a-3，1）上单调递减，
∵函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-2a-3＞e}\\{f（1）=（-a-2）e＞e}\end{array}\right.$，解得：-4＜a＜-3．
③当-a-3≤0即a≥-3时，f（x）在[0，1]上单调递减，f_min（x）=f（1）=（-a-2）e，
∵函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，
∴（-a-2）e＞e，解得：a＜-3，舍去．
综上，a的取值范围是（-∞，-3）．

点评 本题考查了导数与函数单调性，函数最值的关系，不等式的解法，属于中档题．