Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）推导出$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{ON}$，当PM⊥x轴时，能求出-2＜λ＜0或0＜λ＜2；当直线MP的斜率存在时，设方程为y=kx+m，将其代入椭圆，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题设条件能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的焦距为2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{4-3}=1$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{ON}$，
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
①当PM⊥x轴时，x₁=x₂，y₁=-y₂≠0，
由$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{ON}$，得λx₀=0，λy₀=2y₁，
则x₀=0，y₀=±1，
∵-1＜y₁＜0或0＜y₁＜1，∴-2＜λ＜0或0＜λ＜2．
②当直线MP的斜率存在时，设方程为y=kx+m，
将其代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，并整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
则△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，
解得m²＜1+4k²，①
又${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{ON}$，得（x₁，y₁）-（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），且λ≠0，
即${x}_{0}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{λ}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{λ}$，
又∵${{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=4$，
∴（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{λ}$）²+4（$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{λ}$）²=4，
∴$4{λ}^{2}=（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+4{k}^{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$（1+4{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$
=（1+4k²）[$\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{{k}^{2}）^{2}}_{\;}}$-4×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$]
=16-$\frac{16{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，即$4-{λ}^{2}=\frac{4{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，②
联立①②，得0＜4-λ²＜1，
∴-2＜λ＜0或0＜λ＜2．
综上所述：实数λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式的合理运用．