Question

13．已知z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位，$\overline{z_1}$是z的共轭复数），z₁，z₂∈C，定义D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．现有三个命题：
①D（${\overline{z_1}}$）=D（z₁）；       ②D（z₁，z₂）=D（z₂，z₁）；      ③λD（z₁，z₂）=D（λz₁，λz₂）．
其中为真命题的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②

Answer 1

分析 由已知新定义逐一计算三个命题的左右两边得答案．

解答 解：∵z=a+bi，且定义义D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．
不妨设z₁=a+bi（a，b∈R），z₂=c+di（c，d∈R），
则$\overline{{z}_{1}}=a-bi，\overline{{z}_{2}}=c-di$，
∴D（${\overline{z_1}}$）=|a|+|-b|=|a|+|b|，D（z₁）=|a|+|b|，则D（${\overline{z_1}}$）=D（z₁），故①正确；
 D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，D（z₂，z₁）=||（c-a）+（d-b）i||=|c-a|+|d-b|=|a-c|+|b-d|，故②正确；     
 λD（z₁，z₂）=λ|a-c|+λ|b-d|，D（λz₁，λz₂）=||λz₁-λz₂||=||（λa-λc）+（λb-λd）i||=|λa-λc|+|λb-λd|=|λ|D（z₁，z₂），故③错误．
∴①②为真命题．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义下的复数运算，是中档题．