Question

13．已知四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为12π，ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，则△PCD的面积为（　　）

• A． $\sqrt{7+2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{14}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 由题意画出图形，设P到AB的距离为d，由球的半径相等列式求得d，进一步求得△PCD的边CD上的高，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：如图，设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为r，

由四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为12π，得4πr²=12π，r=$\sqrt{3}$．
∵ABCD是边长为2的正方形，设其中心为M，则MC=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
∴OM=1，又PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，
设P到AB的距离为d，则$（d-1）^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{3}）^{2}$，
解得：d=1+$\sqrt{2}$．
∴△PCD的边CD上的高h=$\sqrt{{2}^{2}+（1+\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{7+2\sqrt{2}}$，
则△PCD的面积为S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{7+2\sqrt{2}}=\sqrt{7+2\sqrt{2}}$．
故选：A．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．