Question

1．设函数f（x）=ae^x-x-1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=e^x-1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到$a＞\frac{x+1}{{e}^{x}}$恒成立，这样设$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}}$，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a的取值范围；
（Ⅲ）容易得到$ln\frac{{e}^{x}-1}{x}＞\frac{x}{2}$等价于e^x-xe^x-1＞0，可设h（x）=e^x-xe^x-1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=e^x-x-1，f'（x）=e^x-1；
令f'（x）=0，得x=0；
∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；
即a=1时，f（x）的单调减区间为（-∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；
（Ⅱ）∵e^x＞0；
∴f（x）＞0恒成立，等价于$a＞\frac{x+1}{{e}^{x}}$恒成立；
设$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}}$，x∈（0，+∞），$g′（x）=-\frac{x}{{e}^{x}}$；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；
∴a≥1；
∴a的取值范围为[1，+∞）；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，$ln\frac{{e}^{x}-1}{x}＞\frac{x}{2}$等价于e^x-x${e}^{\frac{x}{2}}$-1＞0；
设h（x）=e^x-x${e}^{\frac{x}{2}}$-1，x∈（0，+∞），$h′（x）={e}^{\frac{x}{2}}（{e}^{\frac{x}{2}}-\frac{x}{2}-1）$；
由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立；
∴${e^{\frac{x}{2}}}-\frac{x}{2}-1＞0$；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；
因此当x∈（0，+∞）时，$ln\frac{{e}^{x}-1}{x}＞\frac{x}{2}$．

点评 考查基本初等函数导数的计算公式，商的导数的计算公式，函数单调性和函数导数符号的关系，以及函数单调性定义的运用，指数函数的单调性，指数式和对数式的意义，指数式的运算．