Question

10．设O为锐角△ABC的外心，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则x+y的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 可先画出图形，连接AB中点和O，并设|AB|=c，|AC|=b，进行数量积运算便可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{b}^{2}$，这样根据条件在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的两边分别乘以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，进行数量积运算，并整理可得到，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}c=cx+\frac{1}{3}by}\\{\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}cx+by}\end{array}\right.$，消元即可得出$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{b}{c}}\\{y=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}{b}}\end{array}\right.$，从而表示出x+y，根据基本不等式即可求出x+y的最大值．

解答 解：如图，设|AB|=c，|AC|=b，则：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{b}^{2}$；
又cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的两边分别乘以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{c}^{2}={c}^{2}x+\frac{1}{3}bcy}\\{\frac{1}{2}{b}^{2}=\frac{1}{3}bcx+{b}^{2}y}\end{array}\right.$；
整理得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}c=cx+\frac{1}{3}by}\\{\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}cx+by}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{b}{c}}\\{y=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}{b}}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\frac{9}{8}-\frac{3}{16}（\frac{b}{c}+\frac{c}{b}）≤\frac{9}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$；
∴x+y的最大值为$\frac{3}{4}$．
故选A．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，三角形的外心的概念，消元法解二元一次方程组，以及基本不等式求最值，不等式的性质．