Question

4．设函数f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值；
（Ⅲ）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，试判断曲线C在N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）＞0解出x的范围即为f（x）的单调增区间；
（II）讨论极值点与区间的关系判断f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的单调性，从而求出f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值；
（III）利用斜率公式求出k_AB，根据导数的几何意义求出曲线C在N处的切线斜率k，假设k_AB=k，令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，构造函数g（t）=k_AB-k，判断g（t）的单调性及零点得出结论．

解答 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2ax+1-2a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+（1-2a）x-1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$．
∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，
令f′（x）＞0得x-1＞0，
∴f（x）单调递增区间为（1，+∞）．
（II）当a＜0时，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2a}$．
①当-$\frac{1}{2a}$≥1即-$\frac{1}{2}$≤a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值为f（1）=1-a．
②当$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2a}＜1$即-1$＜a＜-\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2a}$]上单调递减，在区间[-$\frac{1}{2a}$，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值为f（-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$+ln（-2a）．
③当-$\frac{1}{2a}$$≤\frac{1}{2}$即a≤-1时，f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，
∴f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}a+ln2$．
综上，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}a+ln2，a≤-1}\\{1-\frac{1}{4a}+ln（-2a），-1＜a＜-\frac{1}{2}}\\{1-a，-\frac{1}{2}≤a＜0}\end{array}\right.$．
（III）设M（x₀，y₀），则x_N=x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．
直线AB的斜率k₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[a（x₂²-x₁²）+（1-2a）（x₂-x₁）+ln₁-lnx₂]=a（x₁+x₂）+（1-2a）+$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
曲线C在N处的切线斜率为k₂=f′（x₀）=2ax₀+1-2a-$\frac{1}{{x}_{0}}$=a（x₁+x₂）+1-2a-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．
假设曲线C在N处的切线平行于直线AB，则k₁=k₂，
∴$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，则lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，不妨设x₁＜x₂，则0＜t＜1．
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，则g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（1+t）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴g（t）在（0，1）上为增函数，
∴g（t）＜g（1）=0，即g（t）=0在（0，1）上无解，
∴曲线C在N处的切线不平行于直线AB．

点评 本题考查了导数与函数单调性，函数最值的关系，导数的几何意义，分类讨论思想，属于中档题．