Question

19．已知正四面体棱长均为4，求正四面体的高与斜高．

Answer 1

分析 由题意画出图形，作出正四面体的高与斜高，然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，

过A作AO⊥底面BCD，垂足为O，
∵四面体为正四面体，∴O为底面正三角形的中心，
连接CO并延长，交BD于G，连接AG，则AG为正四面体的斜高．
∵底面边长为4，∴$CO=\frac{2}{3}CG=\frac{2}{3}\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则OG=$\frac{1}{2}CO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}-C{O}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
AG=$\sqrt{O{A}^{2}+O{G}^{2}}=\sqrt{（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=12\sqrt{3}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是基础题．