Question

19．已知直线L：y=x+b与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，且△AOB的面积等于$\sqrt{3}$，则常数b的值为±$\sqrt{6}$或±$\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 由条件求得∠AOB的值，再利用直角三角形中的边角关系求得弦心距d的值，再利用点到直线的距离公式求得b的值．

解答 解：∵直线L：y=x+b与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，且△AOB的面积等于$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•AO•BO•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$•2•2•sin∠AOB=$\sqrt{3}$，∴sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠AOB=$\frac{π}{3}$或∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
设弦心距为d，当∠AOB=$\frac{π}{3}$时，d=2•cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，由$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，得b=±$\sqrt{6}$．
当∠AOB=$\frac{2π}{3}$时，d=2•cos$\frac{π}{3}$=1，由$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=1，得b=±$\sqrt{2}$，
故答案为：±$\sqrt{6}$或±$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．