Question

14．如图，平行四边形ABCD，点E、F分别是DC，BC的中点，$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$-$μ\overrightarrow{AF}$，则λ+μ=0．

Answer 1

分析 根据题意，用$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DC}$表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$，根据$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$-$μ\overrightarrow{AF}$列出方程组，求出λ与μ的值即可．

解答 解：平行四边形ABCD中，点E、F分别是DC，BC的中点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$；
∴$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$-$μ\overrightarrow{AF}$
=λ（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$）-μ（$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）
=（λ-$\frac{1}{2}$μ）$\overrightarrow{AD}$+（$\frac{1}{2}$λ-μ）$\overrightarrow{DC}$，
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ-μ=1}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{2}{3}$，μ=-$\frac{2}{3}$，
∴λ+μ=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，也考查了向量相等与方程组的应用问题，是基础题目．