Question

4．焦点在x轴上的双曲线，虚半轴长为1，离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线l过点（4，-2），且与双曲线有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的虚半轴长，以及离心率，求解双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
（2）判断点与双曲线的位置关系，利用双曲线的简单性质求解直线的斜率，然后求解直线方程．

解答 解：（1）焦点在x轴上的双曲线，虚半轴长为1，离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
可得b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，
解得a²=3．
所求的双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
（2）由双曲线的方程可知：
x=4时，y=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，$-\frac{\sqrt{39}}{3}＜-2＜0$，
可知点（4，-2）在双曲线内部，直线l过点（4，-2），且与双曲线有一个公共点，可知直线的斜率为：$±\sqrt{3}$．
所求的直线方程为：y+2=$±\sqrt{3}$（x-4）．
直线l的方程：$\sqrt{3}x$-y-6=0或$\sqrt{3}x$+y-2=0．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系问题，双曲线方程的求法，属于中档题．