Question

9．若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上存在点M（x₀，y₀），使得由M向圆O：x²+y²=b²所引的两条切线MP，MQ互相垂直，其其切点分别记为P，Q．
（1）试用a，b表示x₀²-y₀²的值；
（2）求满足上述条件的椭圆C的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两切线垂直，可得|MP|=|MQ|=b，即有|OM|=$\sqrt{2}$b，即x₀²+y₀²=2b²，①由M在椭圆上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，②，求出x₀²，y₀²，即可得到所求；
（2）M（x₀，y₀），由题意列出方程组求出$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}$，从而e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}$，由此能求出椭圆C₂的离心率的取值范围．

解答 解：（1）点M（x₀，y₀），
由M向圆O：x²+y²=b²所引的两条切线MP，MQ互相垂直，
可得|MP|=|MQ|=b，
即有|OM|=$\sqrt{2}$b，即x₀²+y₀²=2b²，①
由M在椭圆上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，②
由①②解得x₀²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
y₀²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}-2{b}^{4}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
则x₀²-y₀²=$\frac{2{b}^{4}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$；
（2）由x₀²+y₀²=2b²，①
$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，②
∴b²x₀²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2}$a²-a²y₀²=a²•$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
∴e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}$，
∵-a≤x₀≤a，
∴x₀=b时，e_max→$\sqrt{2-1}$=1，
x₀=a时，e_min=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e_min=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题主要考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．