Question

19．已知等比数列{a_n}的前n项和是S_n，若S₃₀=13S₁₀，S₁₀+S₃₀=140，则S₂₅的值为45$\sqrt{3}$-5或-45$\sqrt{3}$-5．

Answer 1

分析 首先根据题意求出S₁₀=10，S₃₀=130，再根据等比数列的求和公式，得到q¹⁰=3，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-5，然后利用等比数列的求和公式得到答案．

解答 解：因为S₃₀=13S₁₀，S₁₀+S₃₀=140，
所以S₁₀=10，S₃₀=130．
∵数列{a_n}为等比数列，
∴$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q¹⁰）=10，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³⁰）=130，
∴q²⁰+q¹⁰-12=0，
∴q¹⁰=3或q¹⁰=-4（舍去），
∴$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-5，
∴S₂₅=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q²⁵）=$（-5）×[1-（\sqrt{3}）^{5}]$=45$\sqrt{3}$-5．或S₂₅=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q²⁵）=-45$\sqrt{3}$-5．
故答案为45$\sqrt{3}$-5或-45$\sqrt{3}$-5．

点评 本题主要考查了等比数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等比数列的求和公式，得到q¹⁰=3，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-5．