Question

7．已知函数f（x）=cosx+xsinx-a，x∈（-π，π），若f（x）有4个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{2}$）
• D． （-1，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 令g（x）=cosx+xsinx，x∈（-π，π），分析直线y=a与g（x）=cosx+xsinx的图象有四个交点a的取值范围，可得答案．

解答 解：令g（x）=cosx+xsinx，x∈（-π，π），
则g′（x）=xcosx，x∈（-π，π），
令g′（x）＜0，则x∈（-$\frac{π}{2}$，0）∪（$\frac{π}{2}$，π），令g′（x）＞0，则x∈（-π，-$\frac{π}{2}$）∪（0，$\frac{π}{2}$），
故g（x）在（-π，-$\frac{π}{2}$）上为增函数，在（-$\frac{π}{2}$，0）上为减函数，在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，在（$\frac{π}{2}$，π）上为减函数，
故g（x）在x=-$\frac{π}{2}$和x=$\frac{π}{2}$取极大值$\frac{π}{2}$，在x=0时取极小值1，
又由g（-π）=g（π）=-1，
故当a∈（1，$\frac{π}{2}$）时，直线y=a与g（x）=cosx+xsinx的图象有四个交点，
即函数f（x）=cosx+xsinx-a，x∈（-π，π）有4个零点，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，难度中档．