Question

18．已知a为正整数，f（x）=ax²+4ax-2x+4a-7，若y=f（x）至少有一个零点x₀且x₀为整数，则a的取值为1或5．

Answer 1

分析 令f（x）=ax²+4ax-2x+4a-7=0，则a（x²+4x+4）=2x+7，即a=$\frac{2x+7}{（x+2）^{2}}$，结合a为正整数，可得：-3≤x≤1，分别代入验证可得答案．

解答 解：∵f（x）=ax²+4ax-2x+4a-7=a（x²+4x+4）-2x-7，
∴f（-2）=-3≠0，
即x=-2不是函数y=f（x）的零点，
令f（x）=ax²+4ax-2x+4a-7=0，
则a（x²+4x+4）=2x+7，即a=$\frac{2x+7}{（x+2）^{2}}$，
∵a为正整数，
∴$\frac{2x+7}{（x+2）^{2}}$≥1，
解得：-3≤x≤1，
当且仅当x=-3时，a=1，x=-1时，a=5，x=1时，a=1满足条件，
综上可得：a的值为1或5，
故答案为：1或5．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点判断定理，难度中档．