Question

18．若函数f（x）=x³-（4+log₂a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，\left.1]\right.$
• B． （$\frac{1}{2}$，2]
• C． [1，4）
• D． [2，8）

Answer 1

分析 根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³-（4+log₂a）x+2在（0，2]上有两个零点，
∴log₂a=x²+$\frac{2}{x}$-4在（0，2]上有两解，
设g（x）=x²+$\frac{2}{x}$-4，
则g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，得
x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
又g（1）=-1，g（2）=1，
∴-1＜log₂a≤1，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤2，
故选：B

点评 本题考查了函数零点的定义以及导数和函数的最值的关系，属于中档题．