Question

7．（1）已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，过左焦点F作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线交椭圆A、B两点，求弦AB的长；
（2）已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m，若直线被椭圆截得的弦长为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知椭圆方程求出左焦点坐标，得到直线方程，联立直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入弦长公式求得答案；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0，求得m的范围，再由弦长公式求得m值，验证满足判别式求得答案．

解答 解：（1）由椭圆：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，得a²=9，b²=1，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴F（$-2\sqrt{2}，0$），直线AB的斜率k=tan$\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB所在直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$4{x}^{2}+12\sqrt{2}x+15=0$．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-3\sqrt{2}{，x}_{1}{x}_{2}=\frac{15}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}•\sqrt{（-3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}}=2$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+2mx+m²-1=0．
△=4m²-20（m²-1）=20-16m²＞0，得$-\frac{\sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-1}{5}$，
由$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{2m}{5}）^{2}-4×\frac{{m}^{2}-1}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$，解得m=0，
验证m=0满足$-\frac{\sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴直线的方程为y=x．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆方程及弦长公式的运用，是中档题．