Question

17．设函数f（x）=ax²+b（lnx-x），已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，得到f′（1）=2a=-1，即可求a的值；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值点．

解答 解：（1）因为f（x）=ax²+b（lnx-x），
所以f′（x）=2ax+$\frac{b}{x}$-b，
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，
所以f′（1）=2a=-1，
所以a=-$\frac{1}{2}$．
（2）f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+b（lnx-x），其定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-bx+b}{x}$，
令h（x）=-x²-bx+b，x∈（0，+∞），△=b²+4b，
①当-4≤b≤0时，有h（x）≤0，即f′（x）≤0，所以在区间（0，+∞）上单调递减，
故在区间（0，+∞）无极值点．
②当b＜-4时，△＞0，令h（x）=0，有x₁=-$\frac{b}{2}$-$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$，x₂=-$\frac{b}{2}$+$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$，x₂＞x₁＞0，
当x∈（0，x₁）时，即f′（x）＜0，得f（x）在（0，x₁）上递减；
当x∈（x₁，x₂）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，得f（x）在（x₁，x₂_上递增；
当x∈（x₂，+∞）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，得f（x）在（x₂，+∞）上递减，
此时f（x）有一个极小值点-$\frac{b}{2}$-$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$和一个极大值点．
③当b＞0时，△＞0，令h（x）=0，有，
当x∈（0，x₂）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，得f（x）在上递增；
当x∈（x₂，+∞）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，得f（x）在x∈（x₂，+∞）上递减，
此时有唯一的极大值点-$\frac{b}{2}$+$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$．
综上可知，当时，函数f（x）有一个极小值点-$\frac{b}{2}$-$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$和一个极大值点-$\frac{b}{2}$+$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$；
当-4≤b≤0时，函数f（x）在（0，+∞）无极值点；
当b＞0时，函数有唯一的极大值点-$\frac{b}{2}$+$\frac{\sqrt{{b}^{2}+4b}}{2}$，无极小值点．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．