Question

12．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{n}$．
（1）试以$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$为基底表示$\overrightarrow{MN}$；
（2）试以$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$为基底表示$\overrightarrow{AB}$．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对边平行且相等，对应向量相等，结合中点的定义，即可用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{MN}$；
（2）先用$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$，列出方程组即可求出$\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：（1）根据题意，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$；
（2）∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
即$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{d}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$①，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
即$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{d}$②；
②×2-①得，2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$，
解得$\overrightarrow{b}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{n}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{m}$，
即$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{m}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{n}$．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．