Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，

-2b-c

a

=

cosC

cosA

．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=

3

，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式求出a的最小值，利用基本不等式求出b+c的最小值，即可确定出周长的最小值．

解答： 解：（1）△ABC中，

-2b-c

a

=

cosC

cosA

，
由正弦定理，得：

-2sinB-sinC

sinA

=

cosC

cosA

，
即-2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴-2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=-

1

2

，
则A=

2π

3

；
（2）∵A=

2π

3

，且S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc=12，
∴a≥2

3

，
又b+c≥2

bc

=4，
当且仅当b=c=2时，a的最小值为2

3

，b+c的最小值为4，
则周长a+b+c的最小值为4+2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．