Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

3

，cosA=

4

5

，b=

3

．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）由B的度数，用A表示出C，由cosA的值求出sinA的值，将表示出的C代入sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把cosA与sinA的值代入计算即可求出值；
（2）由sinA，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（1）∵A、B、C为△ABC的内角，且B=

π

3

，cosA=

4

5

，
∴C=

2π

3

-A，sinA=

3

5

，
∴sinC=sin（

2π

3

-A）=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3+4 3

10

；
（2）由（1）知sinA=

3

5

，sinC=

3+4 3

10

，
又∵B=

π

3

，b=

3

，
∴在△ABC中，由正弦定理，得a=

bsinA

sinB

=

6

5

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

6

5

×

3

×

3+4 3

10

=

36+9 3

50

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．