Question

【题目】如图，己知、是椭圆的左、右焦点，直线经过左焦点，且与 椭圆交两点，的周长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可知：，，，即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论：假设，利用作差法，即可求得. (与，，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：矛盾，故.再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰，由勾股定理得：，此方程无解.故不存在这样的等腰直角三角形.

解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，因为直线与轴的交点为，故.

又的周长为，即，故，所以，.

因此，椭圆的标准方程力.

注：本小题也可以用焦点和离心率作为条件，即将周长换离心率.

（Ⅱ）不存在.理由如下：

先用反证法证明不可能为底边，即.

由题意知，设，，假设，则，

又，，代入上式，消去，得：.

因为直线斜率存在，所以直线不垂直于轴，所以，故.

(与，，矛盾）

联立方程，得： ，所以矛盾.

故.

再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰.

假设为等腰直角三角形，不妨设为直角顶点.

设，则，在中，由勾股定理得：，此方程无解.

故不存在这样的等腰直角三角形.