Question

如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为(-

3

5

，

4

5

)．
（1）求

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求sin（α+β）．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数定义得到角的三角函数值，把要求的式子化简用二倍角公式，切化弦，约分整理代入数值求解．
（2）以向量的数量积为0为条件，得到垂直关系，在角上表现为差是90°用诱导公式求解．

解答：解：（1）由三角函数定义得cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
∴原式=

2sinαcosα+2cos2α

1+ sinα cosα

=

2cosα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2cos2α=2×(-

3

5

)2=

18

25

；
（2）∵

OP

•

OQ

=0，∴α-β=

π

2

∴β=α-

π

2

，∴sinβ=sin(α-

π

2

)=-cosα=

3

5

cosβ=cos(α-

π

2

)=sinα=

4

5

∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

•

4

5

+(-

3

5

)•

3

5

=

7

25

．

点评：经历用向量的数量积推导出题目要用的条件的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数的联系；高考题目中向量和三角函数经常结合在一起出现．