Question

如图，以ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点的坐标为(-

3

5

，

4

5

)．
（Ⅰ）求

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
（Ⅱ）若α=β+

π

2

，求sin（α+β）．

Answer 1

分析：题干错误，应该：点P 的坐标为(-

3

5

，

4

5

)．

（Ⅰ）由任意角的三角函数的定义求出 sinα、cosα、tanα 的值，再利用二倍角的正弦、余弦公式求得sin2α、cos2α 的值，代入要求的式子花简求得结果．
（Ⅱ）若α=β+

π

2

，则有 β+α=2α-

π

2

，再由sin（α+β）=sin（2α-

π

2

）=-cos2α，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由任意角的三角函数的定义可得 sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，tanα=-

4

3

．
∴sin2α=2sinαcosα=-

24

25

，cos2α=cos²α-sinα²=-

7

25

．
∴

sin2α+cos2α+1

1+tanα

=

- 24 25 +(- 7 25 )+1

1+(- 4 3 )

=

18

25

．
（Ⅱ）若α=β+

π

2

，则 β-α=

π

2

，β+α=2α-

π

2

，
∴sin（α+β）=sin（2α-

π

2

）=-cos2α=

7

25

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦、余弦公式的应用，属于中档题．