Question

设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式

f(1)=1 f′(1)=- 1 2

的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，原不等式可化为：|x-1|≥2，利用绝对值不等式的意义可得|x-a|+3x≥3x+2的解集；
（Ⅱ）依题意可得|x-a|+3x≤0，?不等式组

x≥a x-a+3x≤0

或

x≤a a-x+3x≤0

，分别解之再取其并集即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x-1|≥2，
∴x≥3或x≤-1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}．
（Ⅱ） 由f（x）≤0得|x-a|+3x≤0，
此不等式可化为不等式组

x≥a x-a+3x≤0

或

x≤a a-x+3x≤0

，
即 

x≥a x≤ a 4

或

x≤a x≤- a 2

，
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤-

a

2

 }
由题设可得-

a

2

=-1，故a=2．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，特别是（Ⅱ），去掉绝对值符号是通过分类讨论予以解决，考查分析转化与计算能力，属于中档题．