Question

15．若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式2x²-λx+1＜0成立”是假命题，
求出“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命题时λ的最小值，
即可求出实数λ的取值范围．

解答 解：若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命题，
即“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命题，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数y=2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$，
取最小值2$\sqrt{2}$；
所以实数λ的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$]．
故答案为：（-∞，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了特称命题，不等式恒成立问题以及函数的图象和性质的应用问题，是中档题．