Question

16．已知f（x）=lnx-x+1+a，g（x）=x²e^x（e为自然对数的底数），若对任意的x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是$\frac{1}{e}$≤a≤e．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．

解答 解：设f（x）=lnx-x+1+a，当x∈[$\frac{1}{e}$，1]时，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，f（x）是增函数，
∴x∈[$\frac{1}{e}$，1]时，f（x）∈[a-$\frac{1}{e}$，a]，
∵对任意的x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得lnx-x+1+a=x²e^x成立，
∴[a-$\frac{1}{e}$，a]是g（x）的不含极值点的单值区间的子集，
∵g′（x）=x（2+x）e^x，∴x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x²e^x是增函数，
∴g（x）⊆[0，e]
∴[a-$\frac{1}{e}$，a]⊆[0，e]，
∴$\frac{1}{e}$≤a≤e；
故答案为$\frac{1}{e}$≤a≤e．

点评 本题主要考查方程恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键．