Question

1．如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥P-OBCD，且PC=$\sqrt{3}$，点E是线段OP的中点．

（1）证明：OP⊥CD；
（2）在图中作出平面CDE与PB交点Q，并求线段QD的长度．

Answer 1

分析 （1）推导出OP⊥OC，OB⊥OP，从而OP⊥平面OPD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出DE和SC不可能垂直．
（2）作出Q点，利用坐标系求出Q的坐标，利用空间距离公式求解即可．

解答 证明：（1）如图甲所示，因为BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，
所以AO=OB，…（1分）
因为BC=1，OD=2OA，得OD=3，OC=$\sqrt{2}$，…（2分）
如图乙所示，OP=OA=1，OC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，
所以有OP²+OC²=PC²，所以OP⊥OC，…（3分）
而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以OP⊥平面OPD，…（4分）

又OB⊥OD，所以OB、OD、OP两两垂直．
故以O为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）…（5分）
$\overrightarrow{OP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，2，0），
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{CD}$=0，
所以OP⊥CD．…（6分）
解：（2）延长OB，DC，交于点M，连结EM，因为OD=3，BC=1，OB=1，所以BM=$\frac{1}{2}$，…（7分）
EM∩PE=Q，则Q即为平面CDE与PB交点，如图：在平面xoz坐标系中，BP的方程为：x+z=1，ME的方程为：2x+6z=3…（9分），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+z=1}\\{2x+6z=3}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{4}$，z=$\frac{1}{4}$，在空间直角坐标系中，Q（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{1}{4}$）．
连结DQ，∴|$\overrightarrow{QD}$|=$\sqrt{（{\frac{3}{4}）}^{2}+{3}^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{154}}{4}$…（12分）

点评 本题考查空间向量的应用，直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，空间距离公式的求法，考查转化思想以及计算能力．