Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\sqrt{3}$，实轴为AB，平行于AB的直线与双曲线C交于点M，N，则直线AM，AN的斜率之积为-2．

Answer 1

分析 利用双曲线的离心率求出a，b关系，设出M，N，利用斜率公式，转化求解即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\sqrt{3}$，可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
设点M（x，y），则N（-x，y）则$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，A（-a，0），B（a，0）；
可得${y}^{2}=\frac{{b}^{2}（{x}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，所以k_AM•k_AN=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{-x+a}$=-$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．