Question

17．某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2所示．

根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．

分数	[50，85]	[85，110]	[110，150]
可能被录取院校层次	专科	本科	重本

（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，样本容量n=$\frac{3}{0.006×10}$，再根据频率分布直方图的性质即可得出x，y．
（2）成绩能被重点大学录取的人数为50×（0.014+0.01+0.006）人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是$\frac{15}{50}$，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为$\frac{3}{10}$．记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；进而得出P（E）=1-$（1-\frac{3}{10}）^{3}$即可得出．
（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×（0.004+0.006）+2=7人，可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布列即可得出．

解答 解：（1）由题意可知，样本容量$n=\frac{3}{0.006×10}=50$…（1分）
解得$x=\frac{5}{50×10}=0.01$…（2分）
$y=\frac{1-（0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3）}{10}=0.014$…（3分）
（2）成绩能被重点大学录取的人数为50×（0.014+0.01+0.006）=15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是$\frac{15}{50}=\frac{3}{10}$，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为$\frac{3}{10}$…（4分）
记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；
则$P（E）=1-{（1-\frac{3}{10}）^3}=\frac{657}{1000}$…（5分）
（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×（0.004+0.006）+2=7人，…（6分）
故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3…（7分）
所以，$P（ξ=0）=\frac{C_7^3}{{C_{22}^3}}=\frac{1}{44}$，$P（ξ=1）=\frac{{C_7^2C_{15}^1}}{{C_{22}^3}}=\frac{9}{44}$，$P（ξ=2）=\frac{{C_7^1C_{15}^2}}{{C_{22}^3}}=\frac{21}{44}$，$P（ξ=3）=\frac{{C_7^0C_{15}^3}}{{C_{22}^3}}=\frac{13}{44}$…（9分）
故随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$

…（11分）
随机变量ξ的数学期望$E（ξ）=0×\frac{1}{44}+1×\frac{9}{44}+2×\frac{21}{44}+3×\frac{13}{44}=\frac{45}{22}$…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、“超几何分布列”及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．