Question

5．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ过F且垂直于x轴，过点P、点Q分别作直线AQ、AP的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （0，$\sqrt{3}$）
• D． （2，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出直线BQ的方程，令y=0，可得B的坐标，利用B到直线PQ的距离小于2（a+c），得出a，c的关系，即可求出该双曲线离心率的取值范围．

解答 解：由题意，B在x轴上，P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），Q（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），∴k_AQ=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a-c}$，
∴k_BP=-$\frac{{a}^{2}-ac}{{b}^{2}}$，
直线BQ的方程为y-$\frac{{b}^{2}}{a}$=-$\frac{{a}^{2}-ac}{{b}^{2}}$（x-c），
令y=0，可得x=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$+c，
∵B到直线PQ的距离小于2（a+c），
∴-$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$＜2（a+c），
∴b＜$\sqrt{2}$a，
∴c＜$\sqrt{3}a$，
∴e＜$\sqrt{3}$，
∵e＞1，
∴1$＜e＜\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．