Question

10．已知函数f（x）=|x-a|-|x+1|，且f（x）不恒为0．
（1）若f（x）为奇函数，求a值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质可得f（0）=0，结合条件可得a=1，检验即可；
（2）由题意可得|x-a|≤4+x在x∈[-1，2]时恒成立．即有-4-x≤x-a≤x+4在x∈[-1，2]时恒成立，运用参数分离和一次函数的单调性，可得最值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）因为x∈R，若f（x）为奇函数，
则由f（0）=0，得|a|-1=0，
又f（x）不恒为0，得a=1．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
此时f（-x）=|-x-1|-|-x+1|=-f（x），符合f（x）为奇函数，所以a=1．┉┉┉┉┉┉┉┉┉（5分）
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）≤3恒成立，
即|x-a|≤4+x在x∈[-1，2]时恒成立．
故-4-x≤x-a≤x+4在x∈[-1，2]时恒成立，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
即-4≤a≤（4+2x）_min，x∈[-1，2]．
而x∈[-1，2]，（4+2x）_min=2，所以a的范围是[-4，2]．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）

点评 本题考查绝对值函数的性质和不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值的含义和参数分离，求最值，考查转化思想，以及运算能力，属于中档题．