Question

15．设S_n为各项不相等的等差数列a_n的前n 项和，已知a₃a₈=3a₁₁，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，数列{b_n}的前n 项和为T_n，求$\frac{{a}_{n+1}}{{T}_{n}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的公差，由已知列方程组求得首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，分母有理化，裂项相消法求得数列{b_n}的前n 项和为T_n，代入$\frac{{a}_{n+1}}{{T}_{n}}$，由基本不等式求最小值．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
则由题意知$\left\{{\begin{array}{l}{（{{a_1}+2d}）（{{a_1}+7d}）=3（{{a_1}+10d}）}\\{3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=0}\\{{a_1}=3}\end{array}}\right.$（舍去）或$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{a_1}=2}\end{array}}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1；
（2）${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+1}}}}}=-\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）+（\sqrt{4}-\sqrt{3}）+…+（\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}）=\sqrt{n+2}-\sqrt{2}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{T_n}=\frac{n+2}{{\sqrt{n+2}-\sqrt{2}}}$．
设$\sqrt{n+2}-\sqrt{2}=t$，则 $\frac{{{a_{n+1}}}}{T_n}=\frac{{{{（t+\sqrt{2}）}^2}}}{t}=t+\frac{2}{t}+2\sqrt{2}≥2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$．
当且仅当$t=\frac{2}{t}即t=\sqrt{2}，n=6$时等号成立．
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{T_n}$的最小值为$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式及前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．