Question

5．已知函数f（x）=（x-1）e^x+ax²有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x₁，x₂是f（x）的两个零点，证明x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a），通过（i）当a＞0时，判断函数的单调性，判断零点个数；（ii）若a=0，判断f（x）只有一个零点．（iii）若a＜0，利用单调性判断零点个数即可．
（Ⅱ）不妨设x₁＜x₂．推出x₁＜-x₂．利用函数f（x）在（-∞，0）单调递减，证明f（-x₂）＜0．令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞）．利用g'（x）=-x（e^-x+e^x）＜0，转化证明即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a）（1分）
（i）当a＞0时，
函数f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．                 （2分）
∵f（0）=-1＜0，f（2）=e²+4a＞0，
取实数b满足b＜-2且b＜lna，则f（b）＞a（b-1）+ab²=a（b²+b-1）＞a（4-2-1）＞0，
（3分）
所以f（x）有两个零点．                                           （4分）
（ii）若a=0，则f（x）=（x-1）e^x，故f（x）只有一个零点．          （5分）
（iii）若a＜0，由（I）知，
当$a≥-\frac{1}{2}$，则f（x）在（0，+∞）单调递增，又当x≤0时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；
当$a＜-\frac{1}{2}$，则函数在（ln（-2a），+∞）单调递增；在（0，ln（-2a））单调递减．又当x≤1时，f（x）＜0，故不存在两个零点．                                （6分）
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．                            （7分）
证明：（Ⅱ）不妨设x₁＜x₂．
由（Ⅰ）知x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，+∞），-x₂∈（-∞，0），则x₁+x₂＜0等价于x₁＜-x₂．
因为函数f（x）在（-∞，0）单调递减，
所以x₁＜-x₂等价于f（x₁）＞f（-x₂），即证明f（-x₂）＜0．（8分）
由$f（{x_2}）=（{{x_2}-1}）{e^{x_2}}+ax_2^2=0$，得$ax_2^2=（{1-{x_2}}）{e^{x_2}}$，$f（{-{x_2}}）=（{-{x_2}-1}）{e^{-{x_2}}}+ax_2^2=（{-{x_2}-1}）{e^{-{x_2}}}+（{1-{x_2}}）{e^{x_2}}$，（9分）
令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞）．（10分）
g'（x）=-x（e^-x+e^x）＜0，g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（0）=0，所以g（x）＜0，
所以f（-x₂）＜0，即原命题成立．（12分）

点评 本题考查函数的极值，函数的单调性以及函数的零点个数的问题，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．