Question

6．已知P（0，-1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足$\overrightarrow{PF}$=7$\overrightarrow{FQ}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l₁，l₂，直线l₁交椭圆C于点D，交y轴于点B．l₂与椭圆C的一个交点为E，求$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，由$\overrightarrow{PF}$=7$\overrightarrow{FQ}$，求得Q的坐标，代入椭圆C的方程可得3a²=4c²，结合隐含条件求得a²，则椭圆方程可求；
（2）设直线l₁ 的方程为y=k（x+2），联立直线方程与椭圆方程，求出D的横坐标，可设直线l₂的方程y=kx，与椭圆方程联立，求出E的横坐标，结合l₁∥l₂，得$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{B}-{x}_{A}|}{|{x}_{E}|}$=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{|{x}_{E}|}$，代入点的坐标，化简整理后利用基本不等式求得最小值．

解答 解：（1）由题意设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且F（c，0），则由$\overrightarrow{PF}$=7$\overrightarrow{FQ}$，知Q（$\frac{8c}{7}，\frac{1}{7}$）．
代入椭圆C的方程，$\frac{64{c}^{2}}{49{a}^{2}}-\frac{1}{49}=1$，化简得：3a²=4c²，
又b²=a²-c²=1，∴a²=4．
从而椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l₁ 的方程为y=k（x+2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（x+2）[4k²（x+2）+（x-2）]=0．
∴${x}_{A}=-2，{x}_{D}=\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，
直线l₂的方程可设为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得E点的横坐标${x}_{E}=\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，
由l₁∥l₂，得$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{B}-{x}_{A}|}{|{x}_{E}|}$=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{|{x}_{E}|}$
=$\frac{\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}+4}{\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}}=\frac{4{k}^{2}+3}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}=\sqrt{4{k}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}≥2\sqrt{2}$．
当且仅当$\sqrt{4{k}^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，即k=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴当k=$\frac{1}{2}$时，$\frac{|AD|+|AB|}{|OE|}$的最小值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查运算能力，属中档题．