Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{m{x^2}+ax}}{{1+{x^2}}}$是奇函数．
（1）求m的值；
（2）若f（x）=$\frac{{m{x^2}+ax}}{{1+{x^2}}}$在（1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义求出m的值即可；（2）根据函数单调性的定义求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{{m{x^2}+ax}}{{{x^2}+1}}$是奇函数
∴f（-x）=-f（x）．-------------------------------（2分）
∴$\frac{{m{x^2}-ax}}{{{x^2}+1}}=-\frac{{m{x^2}+ax}}{{{x^2}+1}}$，得m=0．-----------------（6分）
（2）∵$f（x）=\frac{ax}{{1+{x^2}}}$在（1，+∞）上递减
∴任给实数x₁，x₂，当1＜x₁＜x₂时f（x₁）＞f（x₂）---------（7分）
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{a{x_1}}}{{1+{x_1}^2}}-\frac{{a{x_2}}}{{1+{x_2}^2}}=\frac{{a（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}＞0-----（10分）$
∴a＜0------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．