Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D两点，设直线CN，DN的斜率k₁，k₂，若k₁+k₂=2，试求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）tan∠PFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$b，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$b．即可得出．
（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x-1．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t²+3）y²+2ty+1-3b²=0，由k₁+k₂=2，即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=2，化为：ty₁•y₂=y₁+y₂，利用根与系数的关系代入即可得出．直线l的斜率为0时也成立．

解答 解：（1）∵tan∠PFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=$\sqrt{2}$b，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$b．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x-1．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（t²+3）y²+2ty+1-3b²=0，
y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{1-3{b}^{2}}{{t}^{2}+3}$，
∵k₁+k₂=2，∴$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=2，
化为：（y₁-2）（ty₂-2）+（y₂-2）（ty₁-2）=2（ty₁-2）（ty₂-2），
即：ty₁•y₂=y₁+y₂，
∴t•$\frac{1-3{b}^{2}}{{t}^{2}+3}$=$\frac{-2t}{{t}^{2}+3}$，对?t∈R都成立．
化为：b²=1，
直线l的斜率为0时也成立，
∴b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．