Question

10．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$mx²-2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判断x=1能否为函数f（x）的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[-4，-1），使得定义在[1，t]上的函数g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³在x=1处取得最大值，求实数t取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1）=0求得m值，在把m值代入原函数，求出函数的单调区间，可知x=1能为函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）由题意可得当x∈[1，t]时，g（x）≤g（1）恒成立，即g（x）-g（1）=（x-1）[${x}^{2}+（1+\frac{1}{2}m）x+\frac{1}{2}m-1$]≤0，构造函数令h（x）=${x}^{2}+（1+\frac{1}{2}m）x+\frac{1}{2}m-1$，结合m∈[-4，-1），可知h（x）必然在端点处取得最大值，即h（t）≤0．即${t}^{2}+（1+\frac{1}{2}m）t+\frac{1}{2}m-1≤0$，分离m可得$\frac{-{t}^{2}+t+1}{t+1}≥-2$，求解分式不等式得实数t取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=mx-2+$\frac{1}{x+1}$，令f′（1）=0，得m=$\frac{3}{2}$；
当m=$\frac{3}{2}$时，f′（x）=$\frac{（3x+2）（x-1）}{x+1}$，于是f（x）在（-1，-$\frac{2}{3}$）单调递增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上单调递减，
在（1，+∞）单调递增．
故当m=$\frac{3}{2}$时，x=1是f（x）的极小值点；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³=${x}^{3}+\frac{1}{2}m{x}^{2}-2x$．
由题意，当x∈[1，t]时，g（x）≤g（1）恒成立．
即g（x）-g（1）=（x-1）[${x}^{2}+（1+\frac{1}{2}m）x+\frac{1}{2}m-1$]≤0，
令h（x）=${x}^{2}+（1+\frac{1}{2}m）x+\frac{1}{2}m-1$，
由m∈[-4，-1），可知：
h（x）必然在端点处取得最大值，即h（t）≤0．
即${t}^{2}+（1+\frac{1}{2}m）t+\frac{1}{2}m-1≤0$，即$\frac{-{t}^{2}+t+1}{t+1}≥-2$，解得，1$＜t≤\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
∴t的取值范围为1＜t$≤\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．