Question

5．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x²+y²=$\frac{4}{3}$相切，且抛物线y²=-4$\sqrt{2}$x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x²+y²=$\frac{4}{3}$相切，推出$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{4}{3}$，以及c=$\sqrt{2}$，然后求解椭圆方程．
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，求出A、B、P、Q坐标，然后求解S_△ABQ．
②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y利用韦达定理判别式以及弦长公式，点到直线的距离，求出S_△ABQ=$\frac{1}{2}$|PQ||AB利用基本不等式求解最值，然后推出结果．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x²+y²=$\frac{4}{3}$相切，
所以$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{4}{3}$，…（1分）
又抛物线y²=-4$\sqrt{2}x$其准线方程为x=$\sqrt{2}$，
因为抛物线y²=-4$\sqrt{2}x$的准线恰好过椭圆C的一个焦点，
所以c=$\sqrt{2}$，从而a²-b²=c²=2           …（2分）
两式联立，解得b²=2，a²=4，
所以椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$               …（4分）
①当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为l：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则A（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），P（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），所以Q（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
从而S_△ABQ=$\frac{1}{2}$|PQ||AB|=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8}{3}$   …（5分）
②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=（4mk）²-4（2k²+1）（2m²-4）=8（4k²-m²+2）＞0，
即4k²-m²+2＞0
 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4km}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（{m}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$                              …（6分）
因为直线与圆相切，所以d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$，∴3m²=4（1+k²）  …（7分）
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{{k}^{4}+5{k}^{2}+1}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$                   …（8分）
当k≠0时，|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}×\sqrt{1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}}$，
因为4k²+$\frac{1}{{k}^{2}}+4≥8$，
所以1＜1+$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}$$≤\frac{9}{8}$，所以$\frac{4\sqrt{3}}{3}＜|AB|≤\sqrt{6}$．…（9分）
因为PQ圆O的直径，所以S_△ABQ=$\frac{1}{2}$|PQ||AB|=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×|AB|$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}|AB|$．…（10分）
所以$\frac{8}{3}$＜S_△ABQ≤2$\sqrt{2}$．…（11分）
k=0时，S_△ABQ=$\frac{1}{2}$|PQ||AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8}{3}$
综上可得△ABQ面积的取值范围为[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．