Question

7．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c有两个极值点x₁，x₂，若x₂＜f（x₁）＜x₁，则关于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的不同实根个数可能为（　　）

• A． 3，4，5
• B． 4，5，6
• C． 2，4，5
• D． 2，3，4

Answer 1

分析 由函数f（x）=x³+ax²+bx+c有两个极值点x₁，x₂，可得f′（x）=3x²+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a²-12b＞0．而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x₁或x₂．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂根的个数．

解答 解：∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a²-12b＞0．解得x₁=-$\frac{a}{3}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3b}}{3}$，x₂=-$\frac{a}{3}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3b}}{3}$，
而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x₁或x₂
由x₂＜f（x₁）＜x₁，
画出如图，由f（x₁）＜x₁，
可知方程f（x）=x₁有3个根．
方程f（x）=x₂有1个根，
则原方程共有4个根．
讨论若x₁=f（x₂），即有f（x）=x₁有2个根，
方程f（x）=x₂有1个根，
则原方程共有3个根；
若x₁＞f（x₂），即有f（x）=x₁有1个根，
方程f（x）=x₂有1个根，
则原方程共有2个根．
即有原方程可能有2，3，4个根．
故选：D．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程根的个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．