Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AP=AD=2CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PB上存在点Q，使得V_P-ACD：V_Q-ABC=1：2，求二面角Q-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明PA⊥BD，AC⊥BD，推出BD⊥平面PAC，然后证明平面PBD⊥平面PAC．
（2）分别以AD，AB，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，求出相关点的坐标，设P，Q到平面ABCD距离分别为h₁，h₂，则h₁=AP=1．求出Q的坐标，求出平面QAC法向量，平面ABCD法向量，利用空间向量的数量积求解二面角Q-AC-B的余弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，
又BD⊆平面ABCD，所以PA⊥BD
直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=2CD=1，AB=2，
所以$tan∠ABD=tan∠CAD=\frac{1}{2}$，
所以∠ABD=∠CAD，又∠DAC+∠BAC=90°
所以∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD
又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（5分）
又BD⊆平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）

解：（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD，PA⊥AB，又∠BAD=90°，
如图，分别以AD，AB，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则$A（{0，0，0}），P（{0，0，1}），B（{0，2，0}），C（{1，\frac{1}{2}，0}），D（{1，0，0}）$．
设P，Q到平面ABCD距离分别为h₁，h₂，则h₁=AP=1．
∵V_P-ACD：V_Q-ABC=1：2，$\frac{{V}_{P-ACD}}{{V}_{Q-ABC}}=\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ACD}{h}_{1}}{\frac{1}{3}{S}_{△ABC}{h}_{2}}=\frac{1}{2}$，所以h₂=$\frac{1}{2}{h}_{1}$，所以Q为PB的中点，即Q（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面QAC法向量为$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，又$\overrightarrow{AC}=（{1，\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{AQ}=（{0，1，\frac{1}{2}}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AQ}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}y=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$，取y=-2，得$\overrightarrow m=（{1，-2，4}）$．
又平面ABCD法向量为$\overrightarrow m=\overrightarrow{AP}=（{0，0，1}）$，∴$cos＜\overrightarrow m•\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{4×1}{{\sqrt{21}×1}}=\frac{4}{21}\sqrt{21}$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
又二面角Q-AC-B为锐角，所以二面角Q-AC-B的余弦值为$\frac{4}{21}\sqrt{21}$┉┉┉┉┉┉┉（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及垃圾桶里计算能力．