Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-1+2a_n
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列递推式求出首项，进一步得当n≥2时，S_n-1=-1+2a_n-1，与原递推式联立可得a_n=2a_n-1（n≥2），即{a_n}是2为公比，1为首项的等比数列，再由等比数列的通项公式求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列通项公式代入b_n=log₂a_n+1，求出数列{b_n}的前n项和为T_n，再由裂项相消法求$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

解答 解：（Ⅰ）由已知，有S_n=-1+2a_n，①
当n=1时，a₁=-1+2a₁，即a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=-1+2a_n-1，②
①-②得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴{a_n}是2为公比，1为首项的等比数列，即${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得${b}_{n}=lo{g}_{2}{a}_{n+1}=lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴${T}_{n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}+…+\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+…+$$\frac{2}{n（n+1）}$
=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=2$（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．