Question

4．已知函数f（x）=lnx-ax²（a∈R）
（Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ） 若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据g（x）=lnx-ax²-a+1≤0对?x∈（0，+∞）恒成立．求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
因为$f'（x）=\frac{1}{x}-2ax=\frac{{1-2a{x^2}}}{x}$，…（1分）
所以：（i）当a≤0时，f'（x）＞0对?x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；                      …（2分）
（ii）当a＞0时，令$f'（x）=0⇒x=\sqrt{\frac{1}{2a}}$或$x=-\sqrt{\frac{1}{2a}}$（舍）．…（3分）
当$0＜x＜\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，f'（x）＞0；当$x＞\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，f'（x）＜0．
所以f（x）在$（0，\sqrt{\frac{1}{2a}}）$上单调递增；f（x）在$（\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞）$上单调递减．…（4分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a+1=lnx-ax²-a+1（x＞0）
则依题意，g（x）=lnx-ax²-a+1≤0对?x∈（0，+∞）恒成立．…（5分）
由于$g'（x）=f'（x）=\frac{{1-2a{x^2}}}{x}$，所以由（1）可知：
当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，g（x）在$（0，\sqrt{\frac{1}{2a}}）$上单调递增；在$（\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞）$上单调递减．
此时，g（x）在$x=\sqrt{\frac{1}{2a}}$处取得最大值．…（6分）
若a≤0，因为g（1）=-2a+1＞0，显然与题设相矛盾；       …（7分）
若a＞0，则题设等价于$g（x）max=g（\sqrt{\frac{1}{2a}}）=ln\sqrt{\frac{1}{2a}}-a+\frac{1}{2}≤0$（*），…（8分）
不妨设$t=\sqrt{\frac{1}{2a}}$，则$t＞0，a=\frac{1}{{2{t^2}}}$．
所以（*）式等价转化为$lnt-\frac{1}{{2{t^2}}}+\frac{1}{2}≤0$（t＞0）．…（9分）
记$F（t）=lnt-\frac{1}{{2{t^2}}}+\frac{1}{2}（t＞0）$，则F（1）=0．
因为$F'（t）=\frac{1}{t}+\frac{1}{t^3}＞0$，所以F（t）在（0，+∞）上单调递增．…（10分）
所以F（t）≤0?0＜t≤1，…（11分）
即：$0＜\sqrt{\frac{1}{2a}}≤1$，解得，$a≥\frac{1}{2}$．
所以所求的实数a的取值范围为$[\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．