Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC-c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{2}$，角B的平分线BD=$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；
（Ⅱ）由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．

解答 解：（Ⅰ）由2acosC-c=2b及正弦定理得，
2sinAcosC-sinC=2sinB，…（2分）
2sinAcosC-sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴-sinC=2cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA=$-\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）在△ABD中，c=$\sqrt{2}$，角B的平分线BD=$\sqrt{3}$，
由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sinA}$，
∴sin∠ADB=$\frac{ABsinA}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（8分）
由A=$\frac{2π}{3}$得∠ADB=$\frac{π}{4}$，∴∠ABC=2（$π-\frac{2π}{3}-\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{6}$，
∴∠ACB=$π-\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，AC=AB=$\sqrt{2}$
由余弦定理得，a²=BC²═AB²+AC²-2AB•AC•cosA
=2+2-2×$\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）$=6，
∴a=$\sqrt{6}$…（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．