Question

8．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，点D在线段BC上．
（1）若∠ADC=$\frac{3}{4}$π，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，由此能求出AD．
（2）推导出S_△ABD=2S_△ADC，S_△ABC=3S_△ADC，${S}_{△ABC}=4\sqrt{2}$，BC=6，从而得到$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}=2•\frac{AC}{AB}$，由此利用余弦定理能求出$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在三角形中，∵cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$． …（2分）
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，
又AB=2，$∠ADB=\frac{π}{4}$，sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴AD=$\frac{8}{3}$．   …（5分）
（2）∵BD=2DC，∴S_△ABD=2S_△ADC，S_△ABC=3S_△ADC，
又${S}_{△ADC}=\frac{4}{3}\sqrt{2}$，∴${S}_{△ABC}=4\sqrt{2}$，…（7分）
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}•AB•BC•sin∠ABC$，∴BC=6，
∵${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$，${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
S_△ABD=2S_△ADC，∴$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}=2•\frac{AC}{AB}$，…（9分）
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，∴AC=4$\sqrt{2}$，…（11分）
∴$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=2•$\frac{AC}{AB}$=4$\sqrt{2}$．   …（12分）

点评 本题考查线段长的求法，考查两个角的正弦值的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．