Question

18．已知函数g（x）=$\frac{2}{x}-alnx（{a∈R}），f（x）={x^2}$+g（x）．
（1）试判断g（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1）上有极值，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，若f（x）有唯一的零点x₀，试求[x₀]的值．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2，[-1.4]=-2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）求出f（x）的导数，令h（x）=2x³-ax-2，x∈（0，+∞），求出导数，讨论a的符号，判断单调性，即可得到所求a的范围；
（3）由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，则x₀＞1，讨论f（x）在x＞1的单调性，再由零点的定义和极值点的定义，可得x₀的方程，构造函数$t（x）=2lnx-1-\frac{3}{{{x^3}-1}}（x＞1）$，判断单调性，由零点存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．

解答 解：（1）$g（x）=\frac{2}{x}-alnx（x＞0）$，$g'（x）=-\frac{2}{x^2}-\frac{a}{x}=-\frac{ax+2}{x^2}$
①当a≥0时，g'（x）＜0，∴函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
②当a＜0时，由g'（x）=0，解得$x=-\frac{2}{a}$，
当$x∈（0，-\frac{2}{a}）$时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；
当$x∈（-\frac{2}{a}，+∞）$时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．　　       …（3分）
（2）f（x）=x²+g（x），其定义域为（0，+∞）．
$f'（x）=2x+g'（x）=\frac{{2{x^3}-ax-2}}{x^2}$，…（4分）
令h（x）=2x³-ax-2，x∈（0，+∞），h'（x）=6x²-a，
当a＜0时，h'（x）＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又h（0）=-2＜0，h（1）=-a＞0，
∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x₀，且x₀也是f'（x）的变号零点，
此时f（x）在区间（0，1）内有极值．　                  …（5分）
当a≥0时，h（x）=2（x³-1）-ax＜0，即x∈（0，1）时，f'（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，1）单调递减，此时函数f（x）无极值 …（6分）
综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值时实数a的取值范围是（-∞，0）；…（7分）
（3）∵a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）
由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x₀＞1．
又f（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x₁，
且x∈（1，x₁）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（x₁，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
由题意可知：x₁即为x₀．　                 …（9分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（{x_0}）=0}\\{f'（{x_0}）=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x_0^2+\frac{2}{x_0}-aln{x_0}=0}\\{2x_0^3-a{x_0}-2=0}\end{array}}\right.$消去可得：$2ln{x_0}=1+\frac{3}{x_0^3-1}$，
即$2ln{x_0}-（1+\frac{3}{x_0^3-1}）=0$
令$t（x）=2lnx-1-\frac{3}{{{x^3}-1}}（x＞1）$，则t（x）在区间（1，+∞）上单调递增
又∵$t（2）=2ln2-1-\frac{3}{{{2^3}-1}}=2×0.6973-1-\frac{3}{7}＜2×\frac{7}{10}-1-\frac{3}{7}=-\frac{1}{35}＜0$$t（3）=2ln3-1-\frac{3}{{{3^3}-1}}=2×1.099-1-\frac{3}{26}＞2×1-1-\frac{3}{26}=\frac{23}{26}＞0$
由零点存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0
∴2＜x₀＜3∴[x₀]=2．　　  …（12分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数零点定理的运用，同时考查分类讨论和构造函数法，以及化简整理的运算能力，具有一定的综合性，属于难题．