Question

10．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（Ⅰ） 求证：SB∥平面ACM； 
（Ⅱ） 求点C到平面AMN的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，推导出ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．
（Ⅱ）推导出CN为点C到平面AMN的距离，由此能求出点C到平面AMN的距离．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME．
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．
∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．
∴ME∥SB．  …（3分）
又∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．  …（5分）
解：（Ⅱ）由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．
又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．…（8分）
由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．
于是CN⊥面AMN，则CN为点C到平面AMN的距离           …（9分）
在Rt△SAC中，$SA=2，AC=2\sqrt{2}，SC=\sqrt{S{A^2}+A{C^2}}=2\sqrt{3}$，
于是$A{C^2}=CN•SC⇒CN=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
∴点C到平面AMN的距离为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．  …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到直线的距离求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．