Question

5．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，直线l经过点F₁及虚轴的一个端点，且点F₂到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{4}$
• C． $\sqrt{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}$
• D． $\frac{{\sqrt{3+\sqrt{5}}}}{2}$

Answer 1

分析 利用点F₂到直线l的距离等于实半轴的长，可得$\frac{|2bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=a，得出a与c之间的等量关系，进而求出离心率．

解答 解：由题意，直线l的方程为y=$\frac{b}{c}$x+b，即bx-cy+bc=0，
∵点F₂到直线l的距离等于实半轴的长，
∴$\frac{|2bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=a，
∴4（c²-a²）c²=a²（2c²-a²），
∴4e⁴-6e²+1=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．