Question

20．我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．
（Ⅱ）由频率分布直方图求出100位居民每人月用水量不低于3吨的人数的频率，由此能估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数．
（Ⅲ）求出前6组的频率之和为0.88＞0.85，前5组的频率之和为0.73＜0.85，从而得到2.5≤x＜3，由此能估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，
可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，
解得a=0.30．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，
100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
由以上样本频率分布，
可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000．
（Ⅲ）∵前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，
而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3
由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得x=2.9，
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．